Hasiera::Dinamika::Solido zurruna::Azalpena

Orain arte, gure mugikariari buruz ari ginenean, beti deitu izan diogu partikula edo gorputza (gure inurria, alegia).

Partikularen masari buruz baino ez gara arduratu, baina beti suposatu dugu puntu bat bezala dela, formarik gabe. Baina aztertu irudi hau:

\begin{figure}\input fig7_1.pstex_t \end{figure}

Nahiz eta masak berdinak izan, uste al duzu bi gorputzen portaera berdina izango dela?

Erantzuna: garbi dago ezetz.

Hori da atal honetan aztertuko duguna. Eta horretarako jakin behar dugu zer den:

Solido zurruna

Solido zurruna partikula sistema bat da (partikula kopurua OSO HANDIA izan daiteke), baina ezaugarri bat beteta: Partikulen arteko distantzia erlatiboak finkoak dira, ez dira aldatzen. EGUNEROKO BIZITZAN, kasu praktikoetan, solido guztiak zurrunak dira, elastikoak kenduta.

Solido zurrun batek bi mugimendu mota egin ditzake: Traslazioa eta errotazioa.

(ADI!!!!! errepasatu atala 3)

Honako irudi honetan, non bultzatuko zenuke, atea errezago irekitzeko? A puntuan edo B puntuan?

\begin{figure}\input fig7_2.pstex_t \end{figure}

Nahiz eta indar berdina egin, erangingarriagoa izango da B puntuan bultzatzea, bira-ardatzetik ("bisagretatik") urrunago dagoelako.

BERAZ, errotazioaz ari garenean, ez da nahikoa indarra jakitearekin, beste magnitude bat behar dugu, ardatzarekiko distantzia kontuan hartuko duena. Magnitude hori honako hau da:

Indarraren mementoa,

eta horrela kalkulatzen da:

\begin{displaymath} M = \vec{F}\cdot\vec{r} \end{displaymath}

Hemen, r, ardatzarekiko distantzia da. Atearen adibidean:

\begin{figure}\input fig7_3.pstex_t \end{figure}

Orduan, indar bakoitzaren mementoa, indar bera bider haren distantzia da:
\begin{displaymath} M_A = \vec{F}\cdot\vec{r}_A \end{displaymath} eta \begin{displaymath} M_B = \vec{F}\cdot\vec{r}_B \end{displaymath}

BERAZ, indarrak berdinak dira, baina euren mementoak EZ, memento handiagoa lortzen da B puntuan bere distantzia handiagoa delako.

Fijatu zaitez biderkadura eskalarra dela, beraz $M = \vec{F}\cdot\vec{r}=F\cdot r \cdot \cos \theta$ atearen kasuan perpendikularki bultzatzen da ( $\theta =90^\mathrm{o}$) eta $M=F\cdot r$ besterik gabe.

Zein lotura egongo da indar-mementoa eta berak eragiten duen mugimenduaren artean? Gogoratu mugimendu lineala: Indar batek azelerazio bat eragiten du, eta bien arteko lotura partikularen masa da:

\begin{displaymath} \vec{F} = m\vec{a} \end{displaymath}

Oraingoan, errotazioan, antzekoa da:

\begin{displaymath} M = I \alpha \end{displaymath}

Hau da, indar-memento batek azelerazio angeluarra eragiten du, eta bien arteko lotura \begin{displaymath} I \end{displaymath} da. Zer da \begin{displaymath} I \end{displaymath}? $\Rightarrow$ Masaren "baliokidea" . Gorputzaren INERTZIA-MOMENTUA deitzen da . Begira batzuren balioak:

Eraztuna
\begin{figure}\input fig7_4a.pstex_t \end{figure}
$I = mR^2$

Zilindro hutsa
\begin{figure}\input fig7_4b.pstex_t \end{figure}
\begin{displaymath} I=\frac12 m (R^2+r^2) \end{displaymath}
Zilindro edo diskoa
\begin{figure}\input fig7_4c.pstex_t \end{figure}
\begin{displaymath} I = \frac12 m R^2 \end{displaymath}
Plaka laukizuzena
\begin{figure}\input fig7_4d.pstex_t \end{figure}
\begin{displaymath} I = \frac{1}{12}m(a^2+b^2) \end{displaymath}
Hagatxo luzea
\begin{figure}\input fig7_4e.pstex_t \end{figure}
\begin{displaymath} I = \frac{1}{12}mL^2 \end{displaymath}
Hagatxo luzea
\begin{figure}\input fig7_4f.pstex_t \end{figure}
\begin{displaymath} I = \frac13 m L^2 \end{displaymath}
Esfera
\begin{figure}\input fig7_4g.pstex_t \end{figure}
\begin{displaymath} I = \frac25 mR^2 \end{displaymath}
Esfera hutsa mehea
\begin{figure}\input fig7_4h.pstex_t \end{figure}
\begin{displaymath} I = \frac23 m R^2 \end{displaymath}

Ikusten duzunez, \begin{displaymath} I \end{displaymath}-ren balioa gorputzaren formaren araberakoa da.

Ikusiko dugu, honako taula honetan, mugimendu traslazionala eta errotazionalaren arteko konparazioa:

mugimendu traslazionala mugimendu errotazionala
Masa $m$ Inertzi-mementoa $I$
Indarra $F$ Indar-mementoa $ M$
Legea $\sum F=ma$ Legea $\sum M=I \alpha$
Energia zinetikoa \begin{displaymath} \frac12 mv^2 \end{displaymath} Energia zinetikoa \begin{displaymath} \frac12 I \omega^2 \end{displaymath}
Memento lineala $p=mv$ memento angeluarra $L=I\omega$

AMAITZEKO, adibide sinple bat aztertuko dugu:

Zein aldetarantz jeitsiko da kulunkailua?

\begin{figure}\input fig7_5.pstex_t \end{figure}

Lehenengo, hiru indarren mementoak aztertu behar ditugu (gogoratu bloke batek egiten duen beherantzako indarra bere pisua dela, beraz, \begin{displaymath} F = P = mg \end{displaymath} bloke bakoitzarentzat)

Ezkerretarako mementoak:

$M_1=m_1 gd_1$ eta $M_2 = m_2 gd_2$

$M_\mathrm{t,ezkerra} = M_1 + M_2$

Eskuinetarako mementoak:

$M_3 = m_3 gd_3$

$M_\mathrm{t,eskuina} = M_3$

Kalkuloak egin eta gero......

\begin{displaymath} \begin{array}{l} M_\mathrm{ezkerra} = 24.5 \mathrm{Nm}\\ M_\mathrm{eskiuna} = 29.4 \mathrm{Nm} \end{array}\end{displaymath}

BERAZ, eskuinak irabazten du (KONTUZ: ez da pisu gehiago dagoelako eskuinaldean, memento gehiago dagoelako baizik!!!) eta memento totala:

$M = 29.4 - 24.5 = 4.9 \mathrm{Nm}$ eskuinarantz

eta zenbateko azelerazioarekin mugituko da eskuinarantz?

\begin{displaymath} \sum M = I \alpha \end{displaymath}

Eta kulunkailuaren I? BEGIRATU koadroan (hagatxo luzea)

\begin{displaymath} I_\mathrm{hagatxo} = \frac{1}{12}mL^2 \end{displaymath}

Zuretzat geratzen da $\alpha$-ren kalkuloa ( kulunkailuaren luzeraren arabera, L, utzi).

Gora