Hasiera::Zinematika::Partikula baten zinematika::Azalpena

Imajina dezagun inurri baten ibilbidea goitik ikusita:

\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \input fig1_1a.pstex_t & \input fig1_1b.pstex_t \\ \end{tabular}\end{figure}

Nola jakin non dagoen aldiune jakin batean?

Erantzuna:

Erantzuna emateko, esan behar dugu non dagoen, baina nondik neurtuta $\Rightarrow$ ERREFERENTZI SISTEMA bat behar dugu: $\{O,x,y\}$ oinarri bat eta bi ardatz.

Behin ESa definituta erraza da erantzuna: POSIZIOA $\Rightarrow$ Bi koordenatuen bidez.

Zehatzago, O-tik hasita inurriarengana doan bektore baten bi osagaiak emanez.

Posizioa deskribatzen duen bektoreari POSIZIO BEKTOREA deritzo:

\begin{displaymath} \vec{r} = r_x \hat{i} + r_y \hat{j} \end{displaymath}

\begin{figure}\input fig1_2.pstex_t \end{figure}

Baina, inurria geldirik al dago?

Inurriak mugitzen badirau, haren POSIZIO BEKTOREAren osagaiak $r_x$eta $r_y$ (haren koordenatuak) aldatuz joango dira denboran zehar:

\begin{displaymath} \vec{r}(t) = r_x(t) \hat{i} + r_y(t) \hat{j} \end{displaymath}

\begin{figure}\input fig1_3.pstex_t \end{figure}

POSIZIO BEKTOREAren espresio bat denboraren arabera!!! Ekuazio bektorial horren bi osagaiak denboran zehar jakinez gero, $r_x(t)$eta $r_y(t)$hain zuzen, jakingo genuke partikularen (gure inurri gizagaixoaren) posizioa edozein aldiunetan, t aldiunea ordezkatuz

Eta horixe bera da gai honetan BURUZ ikasi behar duzun formula bakarra:

Edozein mugimendutarako posizio bektorearen eboluzioa denboran zehar, edo partikula baten MUGIMENDUAREN EKUAZIOA:


\begin{displaymath} \vec{r}(t) = \vec{r_0} + \vec{v_0}t + \frac12\vec{a}t^2 \end{displaymath}

Non:
$\vec{r_0}$ $\Rightarrow$ Hasierako posizioa (m)
$\vec{v_0}$ $\Rightarrow$ Hasierako abiadura (m/s)
$\vec{a}$ $\Rightarrow$ Azerelazioa (m/s˛)

BAINA, zein da posizio bektorearen espresioa denboran zehar?, hau ala aurrekoa? Biak dira ekuazio bera. Orduan nola pasatu honetatik bestera?

Ikus dezagun.....

Ordezkatu parametro ezagunak:


\begin{displaymath} \begin{array}{l} \vec{r_0} = r_{0x} \hat{i} + r_{0y} \hat{j}... ...at{j}\\ \vec{a} = a_{x} \hat{i} + a_{y} \hat{j}\\ \end{array}\end{displaymath}

Azelerazio konstantea suposatuko dugu BETI.

Beraz,


\begin{displaymath} \vec{r}(t) = (r_{0x}\hat{i} + r_{0y}\hat{j}) + (v_{0x}\hat{i} + v_{0y}\hat{j}) t + \frac12 (a_x\hat{i} + a_y \hat{j})t^2 \end{displaymath}

edo,

\begin{displaymath} r_x(t)\hat{i} + r_y(t)\hat{j} = (r_{0x}\hat{i} + r_{0y}\hat{... ...i} + v_{0y}\hat{j}) t + \frac12 (a_x\hat{i} + a_y \hat{j})t^2 \end{displaymath}

Azkenik, parentesiak kenduz, eta ekuazioaren bi aldeetako x osagaiak eta y osagaiak berdinduz, helburura iristen gara: POSIZIO BEKTOREAren bi osagaiak jakitera denboran zehar:


\begin{displaymath} \begin{array}{l} r_x(t) = r_{0x} + v_{0x}t + \frac12 a_x t^2 \\ r_x(t) = r_{0x} + v_{0x}t + \frac12 a_x t^2 \\ \end{array}\end{displaymath}

Badakigu non egongo den gure inurria edozein aldiunetan (erabat kontrolatuta daukagu). Zer falta da? Zer erritmotan aldatzen da posizioa denbora tarte jakin batean? Zertaz ari gara? ABIADURAz, jakina.

Abiadura bektorea ere denboraren arabera egongo da (ez da zertan izan konstantea) eta HELBURUA da abiadura bektorearen bi osagaiak kalkulatzeko gai izatea edozein aldiunetan:

\begin{displaymath} \vec{v}(t) = v_x(t)\hat{i} + v_y(t)\hat{j} \end{displaymath}

\begin{figure}\input fig1_4.pstex_t \end{figure}

Ez nahastu gauzak: abiadura bektorea beti da ibilbidearekiko ukitzailea, eta posizio bektorea jatorritik inurriarenganaino doana...

Baina, zer da abiadura? $\Rightarrow$ Posizioaren aldaketaren erritmoa denbora tarte jakin batean. Zer da hori matematikoki?

Gogoratu DERIBATUAK:

\begin{displaymath}\frac{dy}{dx}\end{displaymath} y-ren aldakuntza x aldatzen denean

Kasu honetan:

\begin{displaymath}\frac{dr}{dt}\end{displaymath} r-ren aldakuntza t aldatzen denean

Baina posizioaren aldakuntza, denbora aldatzen denean, ABIADURA baino ez da. Beraz,

\begin{displaymath} \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} \end{displaymath}

eta polinomioen deribatuak gogoratuz eta posizioaren espresioa polinomio bat dela kontuan izanik (aldagaia t izanik),


\begin{displaymath} \vec{v}(t) = \vec{v_0} + \vec{a}t^2 \end{displaymath}

Hori bai, gure helburua abiaduraren osagaiak ezagutzea da:

\begin{displaymath} \vec{v}(t) = v_x \hat{i} + v_y\hat{j} \end{displaymath}

Orduan, lehen egin dugun antzera:

\begin{displaymath} \vec{v}(t) = (v_{0x} \hat{i} + v_{0y}\hat{j}) + (a_x\hat{i} + a_y \hat{j}) t \end{displaymath}

Eta parentesiak kenduz eta osagaiak konparatuz, HELBURUra ailegatzen gara,

\begin{displaymath} \begin{array}{l} v_x(t) = v_{0x} + a_x t\\ v_y(t) = v_{0y} + a_y t\\ \end{array}\end{displaymath}

Problemen %90 ondorengo lau ekuazioekin egin ahal izango dituzu:

Gure ekuazio magikoak:


\begin{displaymath} \begin{array}{l} r_x(t) = r_{0x} + v_{0x}t + \frac12 a_x t^2... ...x(t) = v_{0x} + a_x t\\ v_y(t) = v_{0y} + a_y t\\ \end{array}\end{displaymath}

Gora